Математически модел на финансовите пазари ( част 9)

Числата на Фибоначи и златното сечение 

Източник на всички спирали е геометричната прогресия. Всяко число в геометричната прогресия се получава от предходното, като се умножи с някакъв множител. Най-позната е геометричната прогресия, при която всяко следващо число се получава, като предходното се удвои, а именно:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т. н.
Тук постоянния множител е 2, както ние го избрахме q = 2 на фиг. 15.
От всички геометрични прогресии, които съществуват в природата, има една особена, която стои над останалите по своето значение. Това е редицата на Фибоначи, която се базира на показателя q=1.618. Тази редица носи името на Леонардо от Пиза, който пишейки под името Фибоначи, публикува през 1202г. своята прочута “Liber Abaci” – Книга на изчисленията.
Редицата на Фибоначи се получава като всеки неин член е равен на сумата от предните два:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т. н.
2=1+1
3=2+1
5=3+2
8=5+3
13=8+5 и т.н.
Вижда се, че отношението между даден член и предходния съседен члена е 1.618. В началото на редицата има известно отклонение, но при по-големите числа отклонението е нищожно.
3/2 = 1.5
5/3 = 1.666
13/8 = 1.625
89/55 = 1.6181
144/89 = 1.6179
377/233 = 1.6180
Обратното на 1.618 е 0.618 т.е. 1/1.618 = 0.6180
Следователно отношението на всеки член към следващия е 0.618
233/377 = 0.6180
144/233 = 0.6180
89/144 = 0.6180 и т. н.
Друга интересна особеност на редицата е, че ако разделим даден член на предходния през един съотношението е 2.618.
377/144 = 2.6180
Обратното на 2.618 е 0.382, т. е. 1/2.618 = 0.38197=0.382
Ако разделим даден член на следващия през един резултата е 0.382.
144/377 = 0.38196 = 0.382
Такива съотношения могат да се направят и за други равноотдалечени членове. Например съотношението на даден член през два(третия съседен) е съответно 4.236 и 0.236 и т. н.
Други важни съотношения:
1/1.618 = 0.618
0.618 х 0.618 = 0.382
1.618 х 1.618 = 2.618
2.618 х 1.618 = 4.236
1 – 0.618 = 0.382
0.382 + 0.618 = 1
1.618/0.618 = 2.618
0.618/1.618 = 0.382
0.382 х 0.382 = 0.146
Очевидно е обаче, че основните съотношения са 1.618 и 0.618. Другите по същество са производни.
Числото 1.618 е познато като златно сечение.
Златното сечение е известно и в геометрията. То е решение на задачата: Всяка отсечка може да се раздели на две по такъв начин, че отношението на по-голямата отсечка към по-малката да е равно на отношението на цялата отсечка към по-голямата. Тази отсечка е показана на фиг. 16.

Фиг. 16

Това съотношение е равно точно на 1.618

Логаритмичната спирала, която има за основа златното сечение се нарича Златна спирала.