Математически модел на финансовите пазари ( част 8)

Логаритмичната спирала

Основното уравнение, което описва логаритмичната спирала в полярни координати се задава с формула 3:

Формула 3
където:

ρ - полярен радиус на спиралата.
ρ0 - първоначалния радиус на спиралата, когато времето t=0 .
q - коефициент, който определя ръста на спиралата.
φ- полярния ъгъл, на който е завъртяна спиралата (полярния радиус).

Ако този ъгъл е 2π , това означава, че спиралата е направила един оборот, ако е 4π , два оборота и т.н.
Числото q е произволно и то определят размерите (ръста) на спиралата.
Нека да предположим, че :
ρ0= 1
q = 2,
тогава формула (3) на спиралата се преобразува на:

Формула 4

Нека сега на аргумента „ φ ” да зададем стойностите 0, 2π и 4π и по формула (4) да изчислим съответно ρ0 , ρ1 , и ρ2.
Ако φ = 0,       то ρ0 = 20 = 1
ако φ = 2π ,    то ρ1 = 21 = 2
ако φ = 4π,     то ρ2 = 22 = 4 и т.н.

Като използваме тези стойности можем да начертаем логаритмичната спирала на фиг. 15:

 Фиг. 15

Фазовата равнина, в която е начертана спиралата е образувана от декартовите координати “x” и “y”. Без да се впускаме в подробности, как става преобразуване на декартови координати в полярни, направо ще отбележим, че спиралата е начертана с плътна линия на фиг. 14, като образуващ в случая е полярния радиус “р”. За да си представим по-ясно образуващия радиус, можем да си мислим, че той прилича на часовникова стрелка, която се върти се от ляво на дясно и неговия връх описва спиралата.
Oт фиг. 15 се вижда, че когато ъгъл “ф” е равен на ф=0, полярния радиус “р”съвпада с координатата “y” и съответно p=p0 = 1. Това е плътната стрелка “р0” на чертежа. Когато ъгъл “ф” се завърти на дясно с 2π , или един оборот, полярния радиус “р”отново съвпада с координатата “y”, но вече постепенно е нараснал до р = p1 =2. На чертежа това е прекъсната дебела стрелка леко отместена в ляво от координатната ос “y” за да се вижда по-добре.
Отново въвеждаме времето “T”, като трета координата и си мислим, че фазовата равнина, а заедно с нея и спиралата, се движат успоредно на себе си във времето. След това проектираме обемната спирала в равнината, определена от осите “y” и “Т”. Тъй като това вече сме го правили, ще коментираме направо крайния резултат – получената проекция е прекъснатата дебела линия, която започва на ниво „1” и завършва на ниво „2” на фиг. 15.
Нека сега да сравним прекъснатата дебела линия на фиг. 15 с линията от фиг. 13, която описва движението на цените на II и III етап, което пък е следствие на реакцията на инвеститорите след получаване на шок в I етап. Приликата между тези две линии съвсем не е случайна. Размерите може и да не са едни и същи, но формата е една и съща. И това е така, защото реакцията на инвеститорите е част от един по-общ процес в природата, елементите на който вече разгледахме в някаква степен – груповото поведение на инвеститорите, жизнения цикъл на двете групи, връзката на ограничен цикъл между очакванията на инвеститорите и формирането на цените, влиянието на обратната връзка на цените върху инвеститорите и психологията на страха, когато инвеститорите са подложени на шок.

Извод: Реакцията на инвеститорите след получаване на шок( I етап) предизвиква движение на цените по законите на логаритмичната спирала( II и III етап)!
Това е едно важно откритие, защото ни дава възможност да правим разчети в нашите прогнози до какви нива са възможни движенията на цените. С други думи – след като реакцията на инвеститорите има формата на част от логаритмичната спирала, достатъчно е да знаем параметрите на спиралата за да разберем до какви нива ще се предвижат цените, преди да сменят посоката си. Нещо повече – оказва се, че и размерите на спиралата не са случайни. Числото “q”, което определя ръста на логаритмичната спирала представлява така нареченото “златно сечение” или неговите съотношения. По-горе ние избрахме q=2, за да начертаем по-лесно спиралата, а същността на Златното сечение ще разгледаме в следващите редове.